GermanWikipedia - /page/entry.mu

<!DOCTYPE html>

<title>Geodäte</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Geodäte</span></h1>

</header>

</div>

<p>Eine <b>Geodäte</b> <i>(Pl. Geodäten)</i>, auch <b>Geodätische</b>, <b>geodätische Linie</b> oder <b>geodätischer Weg</b> genannt, ist die lokal kürzeste Verbindungskurve zweier <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkte</a>. Geodäten sind Lösungen einer <a href="Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung" title="Gewöhnliche Differentialgleichung">gewöhnlichen Differentialgleichung</a> zweiter Ordnung, der <b>Geodätengleichung</b>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lokale_und_globale_Definition">Lokale und globale Definition</h2></div>

<p>Im <a href="Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidischen Raum</a> sind Geodäten stets <a href="Gerade" title="Gerade">Geraden</a>. Relevant ist der Begriff „Geodäte“ erst in gekrümmten Räumen (<a href="Mannigfaltigkeit" title="Mannigfaltigkeit">Mannigfaltigkeiten</a>), wie zum Beispiel auf einer <a href="Kugeloberfl%C3%A4che" class="mw-redirect" title="Kugeloberfläche">Kugeloberfläche</a> oder anderen <a href="Regul%C3%A4re_Fl%C3%A4che" title="Reguläre Fläche">gekrümmten Flächen</a> oder auch in der gekrümmten <a href="Raumzeit" title="Raumzeit">Raumzeit</a> der <a href="Allgemeine_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Allgemeine Relativitätstheorie">allgemeinen Relativitätstheorie</a>. Man findet die geodätischen Linien mit Hilfe der <a href="Variationsrechnung" title="Variationsrechnung">Variationsrechnung</a>.

</p><p>Die Bezeichnung <i><a href="Umgebung_(Mathematik)" title="Umgebung (Mathematik)">lokal</a></i> in der Definition bedeutet, dass sämtliche Abschnitte einer Geodäte jeweils die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten sind, sofern diese Punkte nahe genug beieinander liegen; die gesamte Geodäte muss aber nicht den <i>global</i> kürzesten Weg zwischen ihren Endpunkten darstellen. Jenseits des <a href="Schnittort" title="Schnittort">Schnittortes</a> können mehrere Geodäten unterschiedlicher Länge zum selben Punkt führen, was die globale Minimierung der Länge verhindert. Beispielsweise ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei nicht-<a href="Antipodal" class="mw-redirect" title="Antipodal">antipodalen</a> Punkten auf einer Kugel stets Teil eines eindeutigen <a href="Gro%C3%9Fkreis" title="Großkreis">Großkreises</a>, aber die beiden Teile, in die dieser Großkreis durch diese zwei Punkte unterteilt wird, sind beide Geodäten, obwohl nur einer der beiden die global kürzeste Verbindung darstellt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele_für_Geodäten_verschiedener_Räume"><span id="Beispiele_f.C3.BCr_Geod.C3.A4ten_verschiedener_R.C3.A4ume"></span>Beispiele für Geodäten verschiedener Räume</h2></div>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"></span> mit <a href="Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidischer Metrik</a> sind genau die <a href="Strecke_(Geometrie)" title="Strecke (Geometrie)">geraden Strecken</a> die Geodätischen.</li>

<li>Eine Geodätische auf der <a href="Sph%C3%A4re_(Mathematik)" title="Sphäre (Mathematik)">Sphäre</a> ist stets Teil eines <a href="Gro%C3%9Fkreis" title="Großkreis">Großkreises</a>; daran orientieren sich heutzutage transkontinentale Flug- und Schifffahrtsrouten (siehe <i><a href="Orthodrome" title="Orthodrome">Orthodrome</a></i> vs. <i><a href="Loxodrome" title="Loxodrome">Loxodrome</a></i>). Alle geodätischen Linien (bzw. Großkreise) auf einer Kugel sind in sich geschlossen – das heißt, wenn man ihnen folgt, erreicht man irgendwann wieder den Ausgangspunkt. Auf <a href="Ellipsoid" title="Ellipsoid">Ellipsoid</a>-Flächen dagegen gilt dies lediglich entlang der <a href="Meridian_(Geographie)" title="Meridian (Geographie)">Meridiane</a> und des <a href="%C3%84quator" title="Äquator">Äquators</a> (welche auf dem Ellipsoid einfache Spezialfälle der geodätischen Linie sind).</li>

<li>Im Sonderfall <a href="Abwickelbare_Fl%C3%A4che" title="Abwickelbare Fläche">abwickelbarer Flächen</a> (z. B. <a href="Kegel_(Geometrie)" title="Kegel (Geometrie)">Kegel</a> oder <a href="Zylinder_(Geometrie)" title="Zylinder (Geometrie)">Zylinder</a>) sind die Geodäten diejenigen Kurven, die bei der Abwicklung in die Ebene zu Geraden werden. Beim Zylinder sind das <a href="Schraublinie_(Darstellende_Geometrie)" title="Schraublinie (Darstellende Geometrie)">Schraublinien</a>/<a href="Helix" title="Helix">Helizes</a> und horizontale Zylinderschnitte (Kreissegmente).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Klassische_Differentialgeometrie">Klassische Differentialgeometrie</h2></div>

<p>In der klassischen <a href="Differentialgeometrie" title="Differentialgeometrie">Differentialgeometrie</a> ist eine Geodätische ein <a href="Weg_(Mathematik)" title="Weg (Mathematik)">Weg</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma \colon I\to S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma \colon I\to S}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c6ee87ff8704d1b8c792b5a8339f85fd4eef0c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.581ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \gamma \colon I\to S}" loading="lazy"></span> auf einer <a href="Regul%C3%A4re_Fl%C3%A4che" title="Reguläre Fläche">Fläche</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c18c48d9d846b949df6fa41877696fd7b246ebe8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.33ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy"></span>, bei dem überall die <a href="Frenetsche_Formeln" title="Frenetsche Formeln">Hauptnormale</a> mit der <a href="Fl%C3%A4chennormale" class="mw-redirect" title="Flächennormale">Flächennormale</a> zusammenfällt. Diese Bedingung ist genau dann erfüllt, wenn in jedem Punkt die <a href="Geod%C3%A4tische_Kr%C3%BCmmung" title="Geodätische Krümmung">geodätische Krümmung</a> gleich 0 ist.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Riemannsche_Geometrie">Riemannsche Geometrie <span id="Geod.C3.A4tengleichung"></span><span id="Geodätengleichung"></span></h2></div>

<p>In der <a href="Riemannsche_Geometrie" title="Riemannsche Geometrie">riemannschen Geometrie</a> ist eine Geodätische durch eine gewöhnliche <a href="Differentialgleichung" title="Differentialgleichung">Differentialgleichung</a> charakterisiert. Sei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"></span> eine <a href="Riemannsche_Mannigfaltigkeit" title="Riemannsche Mannigfaltigkeit">riemannsche Mannigfaltigkeit</a>. Eine Kurve <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma \colon I\to M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma \colon I\to M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14dbb36e335ac58ee563443fef244f3bd62916ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.524ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \gamma \colon I\to M}" loading="lazy"></span> heißt Geodäte, wenn sie die <i>geodätische Differentialgleichung</i> (<i>Geodätengleichung</i>)

</p>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/998d786a63d948705e7212f53917b10213171b02.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:8.584ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>erfüllt. Dabei bezeichnet <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3d0e93b78c50237f9ea83d027e4ebbdaef354b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla }" loading="lazy"></span> den <a href="Levi-Civita-Zusammenhang" title="Levi-Civita-Zusammenhang">Levi-Civita-Zusammenhang</a>. Diese Gleichung bedeutet, dass das Geschwindigkeitsvektorfeld der Kurve längs der Kurve konstant ist. Dieser Definition liegt die Überlegung zu Grunde, dass die Geodätischen des <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"></span> genau die geraden Linien sind und deren zweite Ableitung konstant null ist.

</p><p>Ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (U,x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (U,x)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86bece9c0272e14e23c6c43e0164f292d329e19e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.956ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (U,x)}" loading="lazy"></span> eine Karte der Mannigfaltigkeit, so erhält man mit Hilfe der <a href="Christoffelsymbole" title="Christoffelsymbole">Christoffelsymbole</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{kl}^{m}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{kl}^{m}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f3e34f0394fc7d524a5f8fa258d47c94a6c772be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.128ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{kl}^{m}}" loading="lazy"></span> die lokale Darstellung

</p>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {x}}^{m}+\Gamma _{kl}^{m}{\dot {x}}^{k}{\dot {x}}^{l}=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6fa4671f686a7e35618b019876026b1452dfcfaa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.704ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {x}}^{m}+\Gamma _{kl}^{m}{\dot {x}}^{k}{\dot {x}}^{l}=0}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>der geodätischen Differentialgleichung. Hier wird die <a href="Einsteinsche_Summenkonvention" title="Einsteinsche Summenkonvention">Einsteinsche Summenkonvention</a> verwendet. Die <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{m}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{m}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6393535b4bd57cc6ee63d1b5b7213e388572f691.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.005ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{m}}" loading="lazy"></span> sind die Koordinatenfunktionen der Kurve <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"></span>: Der Kurvenpunkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma (t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54fa4a5d64e164410e4a18106677bebefe1a1f1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.911ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma (t)}" loading="lazy"></span> hat die Koordinaten <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x^{1}(t),\dots ,x^{n}(t))}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x^{1}(t),\dots ,x^{n}(t))}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb68d1e8c80608437eac7cd6719076b83cbd865b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.217ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x^{1}(t),\dots ,x^{n}(t))}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Aus der Theorie über gewöhnliche Differentialgleichungen lässt sich beweisen, dass es eine eindeutige Lösung der geodätischen Differentialgleichung mit den <a href="Anfangsbedingung" title="Anfangsbedingung">Anfangsbedingungen</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma (t_{0})=p}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma (t_{0})=p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/350926d65a648d1bcaf998e3efad130a259e032d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.233ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma (t_{0})=p}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\gamma }}(t_{0})=V\in T_{p}M}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\gamma }}(t_{0})=V\in T_{p}M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f10841f08f53cf2ad27141943fed0c020ace150.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.551ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\gamma }}(t_{0})=V\in T_{p}M}" loading="lazy"></span> gibt. Und mit Hilfe der <a href="Erste_Variation" title="Erste Variation">ersten Variation</a> von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"></span> lässt sich zeigen, dass die bezüglich des <a href="Riemannsche_Mannigfaltigkeit#Riemannsche_Mannigfaltigkeiten_als_metrische_Räume" title="Riemannsche Mannigfaltigkeit">riemannschen Abstands</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d(.,.)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(.,.)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24e6a3115abea7de120c127eecaf6c0620e506d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.127ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(.,.)}" loading="lazy"></span> kürzesten Kurven die geodätische Differentialgleichung erfüllen. Umgekehrt kann man zeigen, dass jede Geodätische zumindest lokal eine kürzeste Verbindung ist. Das heißt, auf einer Geodätischen gibt es einen Punkt, ab der die Geodätische nicht mehr die kürzeste Verbindung ist. Ist die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit nicht <a href="Kompakter_Raum" title="Kompakter Raum">kompakt</a>, so kann der Punkt auch unendlich sein. Fixiert man einen Punkt und betrachtet alle Geodätischen mit Einheitsgeschwindigkeit, die von diesem Punkt ausgehen, so heißt die Vereinigung aller Schnittpunkte der <a href="Schnittort" title="Schnittort">Schnittort</a>. Eine Geodätische mit Einheitsgeschwindigkeit ist eine Geodätische <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"></span>, für die <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|{\dot {\gamma }}\|=1}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|{\dot {\gamma }}\|=1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/996d30a29eb4a4ecf7aafc153b202fdf0b9a6a49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.848ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|{\dot {\gamma }}\|=1}" loading="lazy"></span> gilt.

</p><p>Im Allgemeinen muss eine Geodäte nur auf einem Zeitintervall <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-\epsilon ,\epsilon )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-\epsilon ,\epsilon )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d9349b916b4c86474d5d255ca2975b4e88ad934.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.54ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-\epsilon ,\epsilon )}" loading="lazy"></span> für ein passendes <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \epsilon >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \epsilon >0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/568095ad3924314374a5ab68fae17343661f2a71.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.205ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \epsilon >0}" loading="lazy"></span> definiert sein. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt <i>geodätisch vollständig</i>, wenn für jeden Punkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\in M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\in M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35ad2c18a15749505c928763cd4fdb56f4982816.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.542ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p\in M}" loading="lazy"></span> und jeden Tangentialvektor <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v\in T_{p}M}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v\in T_{p}M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8cde43d4dac32b2325e477be95a948eec8a77617.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.827ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v\in T_{p}M}" loading="lazy"></span> die Geodäte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"></span> mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma (0)=p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma (0)=p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38920cd7608bc9fba57b4ec4582966c0ce3f936b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.502ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma (0)=p}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=v}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=v}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91e90daeb0c772cbe4ea7e87f432305457ccaf6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.46ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=v}" loading="lazy"></span> auf ganz <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"></span> definiert ist. Der <a href="Satz_von_Hopf-Rinow" title="Satz von Hopf-Rinow">Satz von Hopf-Rinow</a> gibt verschiedene äquivalente Charakterisierungen geodätisch vollständiger Riemannscher Mannigfaltigkeiten.

</p><p>Im Allgemeinen ist eine Geodäte (im oben definierten Sinn der Riemannschen Geometrie) nur lokal, aber nicht global minimierend. Das heißt, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"></span> muss nicht unbedingt die kürzeste Verbindung zwischen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma (0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma (0)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/efc6d3cbbbea2cf489b2ee4402482c5ae226f815.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.234ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma (0)}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma (t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54fa4a5d64e164410e4a18106677bebefe1a1f1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.911ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma (t)}" loading="lazy"></span> für alle <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"></span> sein, es gibt aber ein <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta >0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta >0}" loading="lazy"></span>, so dass <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"></span> für alle <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\in \left[-\delta ,\delta \right]}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\in \left[-\delta ,\delta \right]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed37dc7c8a901993761cfb4372dbe94a46743002.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.913ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle t\in \left[-\delta ,\delta \right]}" loading="lazy"></span> die kürzeste Verbindung zwischen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma (0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma (0)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/efc6d3cbbbea2cf489b2ee4402482c5ae226f815.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.234ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma (0)}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma (t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54fa4a5d64e164410e4a18106677bebefe1a1f1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.911ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma (t)}" loading="lazy"></span> ist.

</p><p>Eine Geodäte heißt <b>minimierende Geodäte</b>, wenn <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"></span> für alle <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"></span> die kürzeste Verbindung zwischen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma (0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma (0)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/efc6d3cbbbea2cf489b2ee4402482c5ae226f815.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.234ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma (0)}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma (t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54fa4a5d64e164410e4a18106677bebefe1a1f1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.911ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma (t)}" loading="lazy"></span> ist. Eine <b>geschlossene Geodäte</b> ist eine Geodäte, die eine <a href="Geschlossene_Kurve" class="mw-redirect" title="Geschlossene Kurve">geschlossene Kurve</a> ist. Eine geschlossene Geodäte kann höchstens bis zur Hälfte ihrer Länge eine minimierende Geodäte sein.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Metrische_Räume"><span id="Metrische_R.C3.A4ume"></span>Metrische Räume</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Geod%C3%A4tischer_metrischer_Raum" title="Geodätischer metrischer Raum">Geodätischer metrischer Raum</a></i></div>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X,d)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb4d7a16bca9e216c0221b43a1c3377aa5e358b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.039ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X,d)}" loading="lazy"></span> ein <a href="Metrischer_Raum" title="Metrischer Raum">metrischer Raum</a>. Für eine Kurve, das heißt eine stetige Abbildung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma \colon \left[a,b\right]\rightarrow X}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma \colon \left[a,b\right]\rightarrow X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/57e10b649c4fecea7f4341010220633e477af585.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.445ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma \colon \left[a,b\right]\rightarrow X}" loading="lazy"></span>, definiert man ihre Länge durch

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(\gamma )=\sup _{a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=b}\sum _{i=0}^{n-1}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i+1}))}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/925b139b3acb4f09b27e183237bbbd0ceeeb4096.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:41.766ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle L(\gamma )=\sup _{a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=b}\sum _{i=0}^{n-1}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i+1}))}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Aus der <a href="Dreiecksungleichung" title="Dreiecksungleichung">Dreiecksungleichung</a> folgt die Ungleichung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(\gamma )\geq d(\gamma (a),\gamma (b))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(\gamma )\geq d(\gamma (a),\gamma (b))}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/560b9c11fbca73c065a2eb6c43ba75e2f15d5420.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.183ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(\gamma )\geq d(\gamma (a),\gamma (b))}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Als <i>minimierende Geodäte</i> in <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X,d)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X,d)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb4d7a16bca9e216c0221b43a1c3377aa5e358b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.039ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X,d)}" loading="lazy"></span> bezeichnet man eine Kurve <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma \colon \left[a,b\right]\rightarrow X}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma \colon \left[a,b\right]\rightarrow X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/57e10b649c4fecea7f4341010220633e477af585.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.445ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma \colon \left[a,b\right]\rightarrow X}" loading="lazy"></span> mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(\gamma )=d(\gamma (a),\gamma (b))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(\gamma )=d(\gamma (a),\gamma (b))}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33920d30497cb9aef4b8e7b8e11f76b66c945e29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.183ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(\gamma )=d(\gamma (a),\gamma (b))}" loading="lazy"></span>, das heißt eine Kurve, deren Länge den Abstand ihrer Endpunkte realisiert. (Geodäten im Sinne der Riemannschen Geometrie müssen nicht immer minimierende Geodäten sein, sie sind es aber „lokal“.)

</p><p>Ein metrischer Raum <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X,d)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X,d)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb4d7a16bca9e216c0221b43a1c3377aa5e358b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.039ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X,d)}" loading="lazy"></span> heißt <i>geodätischer metrischer Raum</i> oder <i>Längenraum</i>, wenn sich je zwei Punkte durch eine minimierende Geodäte verbinden lassen. <a href="Vollst%C3%A4ndiger_Raum" title="Vollständiger Raum">Vollständige</a> Riemannsche Mannigfaltigkeiten sind Längenräume. Der <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(0,0)\right\}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(0,0)\right\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/898bb1e17cbcef809686de294efa78339c07ea26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.42ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(0,0)\right\}}" loading="lazy"></span> mit der euklidischen Metrik ist ein Beispiel für einen metrischen Raum, der kein Längenraum ist.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Manfredo Perdigão do Carmo: <i>Riemannian geometry.</i> Birkhäuser, Boston u. a. 1992, ISBN 0-8176-3490-8.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://wiki.sagemath.org/interact/geometry#Geodesics_on_a_parametric_surface">Geodäten auf parametrisierten Flächen — sage interact</a> – Interaktives <a href="SageMath" title="SageMath">SageMath</a>-worksheet, das Geodäten auf parametrisierten Flächen berechnet und visualisiert.</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=NfqrCdAjiks"><i>Die Schönheit der Geodäten</i></a> auf <a href="YouTube" title="YouTube">YouTube</a>, 5. Oktober 2019, abgerufen am 8. März 2021.</li></ul>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4156669-5">4156669-5</a></span> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-12-30" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Geod%C3%A4te&oldid=262877014">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>